Ecuaciones Diferenciales Aplicadas - Murray Spiegel

Descripcion:

El propósito de este libro es el de proporcionar una introducción a las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones para los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas. Para alcanzar este propósito, el libro ha sido escrito con los siguientes objetivos:
1. Demostrar cómo las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en la solución de variados tipos de problemas-en particular, mostrar al estudiante cómo (a) traducir problemas a un lenguaje de ecuaciones diferenciales, esto es, establecer la formulación matemática de problemas; (b) resolver la ecuación diferencial resultante sujeta a condiciones dadas; y (c) interpretar las soluciones obtenidas. Problemas elementales de muchos campos diferentes e importantes se explican en relación a su formulación matemática, solución, e interpretación. Las aplicaciones están ordenadas de modo tal que los tópicos de mayor interés a los estudiantes o al profesor pueden escogerse sin dificultad.
2. Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un entendimiento de los tópicos y se desarrolle un interés. Esto se hace por medio de ayudas como ejemplos, preguntas y problemas para discusión.
3. Proporcionar relativamente pocos métodos de resolver ecuaciones diferenciales que pueden aplicarse a un grupo grande de problemas. Se ha enfatizado en un número mínimo de métodos básicos que el estudiante encuentra normalmente en la práctica; otros métodos menos utilizados que sin embargo son de interés se pueden encontrar en los ejercicios.
4. Proporcionar al estudiante que desee investigar métodos e ideas más avanzados, o problemas y técnicas más complicados una oportunidad para que lo haga. Esto se hace al ofrecer cerca de 2201 ejercicios ordenados en dificultad. Los ejercicios tipo A son en su mayoría fáciles, requieren poca originalidad y están diseñados para propósitos de práctica. Los ejercicios tipo B envuelven computaciones algebraicas más complicadas o mayor originalidad que x v la del grupo A. Los ejercicios tipo C están dirigidos principalmente a complementar el material del texto; ellos exigen un alto grado de originalidad y conocimiento, diseñados para desafiar al estudiante.
 5. Unificar la presentación a través de un enfoque ordenado y lógico, haciendo énfasis en conceptos generales en vez de hacerlo en detalles aislados. Por ejemplo, después de introducir el muy simple método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, se introducen los conceptos de transformación de variables y los de hacer una ecuación exacta al multiplicar por un factor integrante apropiado. Estos conceptos se usan luego en la solución de otros tipos de ecuaciones. Fue un gran placer enterarme de la traducción al idioma Español de mi libro Ecuaciones diferenciales aplicadas, tercera edición. Espero que esto dará una oportunidad a otros de disfrutar la belleza del tema de las ecuaciones diferenciales y sus numerosas aplicaciones.

Contenido:

CAPITULO UNO ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL 

 1. Conceptos de ecuaciones diferenciales 

 1.1 Algunas definiciones y observaciones 

1.2 Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial y de frontera 

1.3 Soluciones generales y particulares 

1.4 Soluciones singulares 

2. Observaciones adicionales relacionadas con las soluciones 

2.1. Observaciones sobre existencia y unicidad 

2.2. Campo de direcciones y el método de las isoclinas 

CAPITULO DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLES DE ALTO ORDEN 

1. El método de separación de variables 

2. El método de la transformación de variables 

2. 1 La ecuación homogénea 

2.2 Otras transformaciones especiales 

3. La idea intuitiva de exactitud 

4. Ecuaciones diferenciales exactas 

5. Ecuaciones hechas exactas por un factor integrante apropiado 

5.1 Ecuaciones hechas exactas por factores integrantes que involucran una variable 4 9 

5.2. La ecuación de primer orden lineal
5.3. El método de inspección 6. Ecuaciones de orden superior al primero que se resuelven fácilmente
6.1 Ecuaciones inmediatamente integrables
6.2 Ecuaciones con una variable ausente
7. La ecuación de Clairaut 8. Revisión de métodos importantes
CAPITULO TRES APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SIMPLES DE ORDEN SUPERIOR
1. Aplicaciones a la mecánica Introducción Las leyes del movimiento de Newton
2. Aplicaciones a los circuitos eléctricas
2.1. Introducción
2.2. Unidades
2.3. La ley de Kirchhoff
3. Trayectorias ortogonales y sus aplicaciones
4. Aplicaciones a la química y a las mezclas químicas
5. Aplicaciones a flujo de calor de estado estacionario
6. Aplicaciones a problemas misceláneas de crecimiento y decaimiento
7. El cable colgante
8. Un viaje a la Luna
9. Aplicaciones a cohetes
10. Problemas de física que involucran geometría
11. Problemas misceláneas en geometría
12. La deflexión de vigas
13. Aplicaciones a biología
13.1. Crecimiento biológico
13.2. Un problema en epidemiología
13.3. Absorción de drogas en órganos o células
14. Aplicaciones a la economía
14.1. Oferta y demanda
14.2. Inventarios
CAPITULO CUATRO ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
1. La ecuación diferencial Lineal general de orden n
2. Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones lineales
3. Cómo obtener Ia solución complementaria?
3.1. La ecuación auxiliar
3.2. El caso de raíces repetidas
3.3. El caso de raíces imaginarias
3.4. Independencia lineal y wronskianos
4. Cómo obtener una solución particular?
4.1. Método de IOS coeficientes indeterminados
4.2. Justicación al método de coeficientes indeterminados. El método Aniquilador
4.3. Excepciones en el método de los coeficientes
4.4. Casos donde funciones más complicadas aparecen en el lado derecho
4.5 El método de variación de parámetros
4.6 Métodos abreviados involucrando operadores
5. Observaciones relacionadas con ecuaciones con coeficientes variables las cuales se pueden transformar en ecuaciones lineales con coeficientes constantes: La ecuación de Euler
6. Repaso de métodos importantes
CAPITULO CINCO APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
1. Movimiento vibratorio de sistemas mecánicos
1.1. El resorte vibrante. Movimiento armónico simple
1.2. El resorte vibrante con amortiguamiento. Movimiento sobre amortiguado y críticamente amortiguado 1.3. El resorte con fuerzas externas
1.4. El fenómeno de resonancia mecánica
2. Problemas de circuitos eléctricos
1 3. Problemas misceláneas
3.1. El péndulo simple
3.2. Oscilaciones verticales de una caja flotando en un líquido
3.3. Un problema en cardiografía
3.4. Aplicación a la economía
CAPITULO SEIS SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR TRANSFORMADAS DE LAPLACE
1. Introducción al método de las transformadas de Laplace
1.1. Motivación para las transformadas de Laplace
1.2. Definición y ejemplos de la transformada de Laplace
1.3. Propiedades adicionales de las transformadas de Laplace
1.4. La función Gamma
1.5. Observaciones concernientes a la existencia de las transformadas de Laplace
1.6. La función salto unidad de Heaviside 2. Funciones impulso y la función delta de Dirac
3. Aplicación de las transformadas de Laplace a ecuaciones diferenciales
3.1. Solución de ecuaciones diferenciales sencillas. Transformadas inversas de Laplace
3.2. Algunos métodos para hallar transformadas inversas de Laplace
3.3. Observaciones concernientes a la existencia y unicidad de las transformadas inversas de Laplace
4. Aplicaciones a problemas físicos y biológicos
4.1. Aplicaciones a circuitos eléctricos
4.2. Una aplicación a la biología
4.3. El problema tautócrono-Aplicación de una ecuación integral en mecánica
4.4. Aplicaciones involucrando la función delta
4.5. Una aplicación a la teoría de control automático y servorr,ecanismos
CAPITULO SIETE SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES USANDO SERIES
1. Introducción al uso de serles
1.1 Motivación para soluciones con series
1.2 Uso de la notacion sumatoria
1.3 Algunas preguntas de rigor
1.4 El m6todo de la serie de Taylor
1.5 Método de iteracih de Picard
2. El metodo de Frobenius 2.1 Motivación para el método de Frobenius
2.2 Ejemplos usando el mtodo de Frobenius
3. Soluciones con series de algunas ecuaciones diferenciales importantes
3.1 La ecuación diferencial de Bessel
3.2 Ecuación diferencial de Legendre
3.3 Otras funciones especiales
CAPITULO OCHO FUNCIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE
1. Funciones ortogonales
1.1. Funciones como vectores
1.2. Ortogonalidad
1.3. Longitud o norma de un vector. Ortonormalidad
2. Problemas de Sturm-Liouville
2.1. Motivación para los problemas de Sturm-Liouville. Eigenvalores y Eigenfunciones
2.2. Una aplicación al pandeo de vigas
3. Ortogonalidad de las funciones de Bessel y Legendre
3.1. Ortogonalidad de las funciones de Bessel
3.2. Ortogonalidad de las funciones de Legendre
3.3. Funciones ortogonales misceláneas
4. Series ortogonales
4.1. Introducción 

4.2. Series de Fourier 

4.3. Series de Bessel 

4.4. Series de Legendre 

4.5. Series ortogonales misceláneas 

5. Algunos tópicos especiales
5.1. Ecuaciones diferenciales así mismo adjuntas
5.2. El metodo de ortonormalización de Gram-Schmidt
CAPITULO NUEVE LA SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1. Solución numérica de y’=f(x. y)
1.1. El método de pendiente constante o método de Euler
1.2. El método de pendiente promedio o método modificado de Euler
1.3. Diagramas de computador
1.4. Análisis de errores
1.5. Algunas guías prácticas para la solución numérica
2. El método de Runge-Kutta PARTE II Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
CAPITULO DIEZ SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES
1. Sistemas de ecuaciones diferenciales
1.1 Motivación para los sistemas de ecuaciones diferenciales
1.2 Método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales
1.3 El uso de operadores en la eliminación de incógnitas
1.4 Métodos abreviados de operador
2. Soluciones de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias
3. Ecuaciones diferenciales expresadas como sistema de primer orden
4. Aplicaciones a la mecánica
4.1. El vuelo de un proyectil
4.2. Una aplicación a astronomía
4.3. El movimiento de satélites y mísiles
4.4. El problema de las masas vibrantes
5. Aplicaciones a las redes eléctricas
6. Aplicaciones a la biología
6.1. Concentración de una droga en un sistema de dos compartimientos
6.2. El problema de epidemia con cuarentena
7. El problema depredador-presa: Un problema en ecología
7.1. Formulación matemática
7.2. Investigación de una solución
7.3. Algunas aplicaciones adicionales
8. Solución de sistemas lineales por transformadas de Laplace
9. Método de las soluciones complementaria y particular
9.1. Cómo encontramos la solución complementaria?
9.2. Cómo encontramos una solución particular?
9.3. Resumen del procedimiento
CAPITULO ONCE METODOS DE EIGENVALORES DE MATRICES PARA SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
1. El concepto de una matriz
1.1. Introducción 1.2. Algunas ideas simples 1.3. Vectores fila y columna 1.4. Operaciones con matrices 2. Ecuaciones diferenciales matriciales 3. La solución complementaria 3.1. Eigenvalores y eìgenvectores 3.2. El caso de eigenvalores reales distintos 3.3. El caso de eigenvalores repetidos 3.4. El caso de eigenvalores imaginarios 3.5. Un problema algo más complicado 3.6. Independencia lineal y wronskianos 4. La solución particular 5. Resumen del procedimiento 6. Aplicaciones usando matrices 

7. Algunos tópicos especiales 

7.1. Ortogonalidad 

7.2. Longitud de un vector 

 7.3. Eigenvalores y eigenvectores de matrices reales simétricas 

 Parte III Ecuaciones Diferenciales Parciales 

CAPITULO DOCE 1. El concepto de una ecuación diferencial parcial 

1.1. Introducción 

1.2. Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales parciales sencillas 

1.3. Significado geométrico de las soluciones general y particular 

1.4. Ecuaciones diferenciales parciales que surgen de la eliminación de funciones arbitrarias 

2. El método de separación de variables 

3. Algunas ecuaciones diferenciales parciales importantes que surgen de problemas físicos
3.1. Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones. La cuerda vibrante
3.2. Problemas que involucran conducción o difusión de calor.
3.3. Problemas que involucran potencial elbctrico o gravitacional
3.4 .Observaciones sobre la deducción de ecuaciones diferenciales parciales
CAPITULO TRECE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA USANDO SERIES DE FOURIER
1. Problemas de valor de frontera que involucran conducción de calor
1.1. El problema de Fourier 1.2. Problemas que involucran fronteras aisladas 1.3. Temperatura de estado estacionario en una placa semi-infinita 1.4. Interpretación de difusión de la conducción de calor 2. Problemas de valor de frontera que involucran movimiento vibratorio 2.1. El problema de la cuerda vibrante 2.2. La cuerda vibrante con amortiguamiento 2.3. Vibraciones de una viga 3. Problemas de valor de frontera que involucran la ecuación de Laplace 4. Problemas misceláneas 4.1. La cuerda vibrante bajo la gravedad 4.2. Conducción-de calor en una barra con condiciones no cero en los extremos 4.3. La cuerda vibrante con velocidad inicial no cero 4.4. Vibraciones de una piel de tambor cuadrada: Un problema que involucra series dobles de Fourier 4.5 Conducción de calor con radiación
CAPITULO CATORCE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA USANDO FUNCIONES DE BESSEL Y DE LEGENDRE
1. Introducción 2. Problemas de valor de frontera que conducen a funciones de Bessel 2.1. El Laplaciano en coordenadas cilíndricas 2.2. Conducción de calor en un cilindro circular 2.3. Conducción de calor en un cilindro radiante 2.4. Vibraciones de una piel de tambor circular 3. Problemas de valor de frontera que conducen a funciones de Legendre 3.1. El Laplaciano en coordenadas esféricas 3.2. Conducción de calor en una esfera 3.3. Potencial eléctrico o gravitacional debido a una esfera 4. Problemas misceláneas 4.1. El problema de la cadena vibrante 4.2. Potencial ektrico debido a un alambre circular uniformemente cargado 4.3. El problema de la bomba atómica

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